1684年德国科学家莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》的论文，这是历史上第一篇公开发表关于微积分的论文，具有开天辟地的意义。
1686年，莱布尼茨再接再厉，发表了积分学的论文，定义了现代积分的符号。至此微积分从莱布尼茨这里最先开始形成一套科学理论，再也不是某些人的专属技巧了。很快这项划时代的发明震惊了数学界，牛顿坐不住了。
1687年英国科学家牛顿发表了划时代的巨著《自然哲学的数学原理》。
事实上，我们现在学的微积分都属于德国数学家黎曼的贡献，称为黎曼微积分。其中，积分学又可以分为：黎曼积分、勒贝格积分和反常积分。
1. 黎曼积分局限性
黎曼可积的充要条件是：
充要条件
由(1)不难看出，可积的必要条件是 f 在闭区间上有界，所以无法处理无穷区间和无界函数的积分问题。
除了无界和无穷区间的问题，还有一类问题是黎曼积分无法解决的，当间断点的集合为非零测集时，比如无理数的集合时，那么无法使用 Riemann 积分。
比如狄利克雷函数在[0,1]上就是黎曼不可积的。
所以黎曼积分的局限性主要体现在两点上：
（1）.要求积分区间有限且被积函数在积分区间上有界
（2）.要求间断点集合零测（勒贝格测度）
2.勒贝格积分的动机：解决第二类局限
本部分尽量在不失严谨性的情况下通俗的讨论 Lebesgue 积分是如何解决第二类局限的。
当前大多数理工科学生对 Riemann 积分都有一定了解，我们常说的定积分就是 Riemann 积分。但是当我们谈到 Lebesgue 积分时，似乎会有一些神秘色彩，正是因为不了解，所以觉得 Lebesgue 积分很困难很神奇。有一些不正确的说法，诸如要先学测度论才能学勒贝格积分、Lebesgue 积分能处理所有 Riemann 积分处理不了的问题、勒贝格积分能治愈癌症（开玩笑）甚嚣尘上。
本部分的主要目的是破除一些常见的误解以及在勒贝格积分上的神秘面纱，会省略一些技术细节。
黎曼积分和勒贝格积分
黎曼积分的本质是是「分割-代替-求和-取极限」。但是遇到一些病态问题时，诸如狄利克雷函数，分割这一步就完成不了，因为永远无法找到足够短的区间来描述一个无理数的长度，从而没有办法用一个矩形的面积去近似代替曲边梯形的面积。
类狄利克雷函数
为了解决这一类问题，勒贝格积分不去划分定义域，而是去划分值域，那 f(x) 在[0,1]的积分就转化为了
勒贝格积分
这时就引入了下一个问题，
长度
怎么去计算呢？，这就是测度论的由来。我们省略测度论的这部分技术细节，直接就假设我已经知道怎么算这个点集的“长度”了。假设函数μ，输入一个点集 D，μ(D)可以输出一个数字，这个数字的就像面积、长度、体积一样，用来描述大小，满足一些公理，诸如
未重叠的并集
之类trivial的。
然后我再告诉你，不用管技术细节，[0,1]上有理数的点集的“长度”为 0，无理数点集的测度为 1，那么这个问题就变得很简单了。
勒贝格积分十分的有用，原因就是它解决了一类积分区间上有界但是间断点的集合不为零测的问题。在勒贝格测度中，有很多不平凡的零测集，所有可列的集合都是零测的，甚至有一些不可列的集合也是零测的（Cantor set）。
这部分将在这里停止而不引入更多测度的内容，但这不影响你了解勒贝格积分的动机和解决的问题。
3.反常积分的动机：解决第一类局限
反常积分很常见了，定积分是说在有限区间内做积分，且上下限都已知，所以它积出来的原函数只有一个，是确定的、唯一的。
不定积分是说在有限区间做积分，但是上下限未知，那么积出来的原函数可以有无穷多个，是不确定的、不唯一的。
反常积分分两类，一个是无穷区间上的反常积分，意思是在无限区间内做积分。第二个是无界函数反常积分，意思是被积函数是无界的。
反正就是定积分推广一下就是反常积分了，定积分之父黎曼说积分必须满足区间有限、函数有界的原则，但是他去世人们发现无限的也能积分，但是黎曼已经给定积分下了定义了，为了尊重他，就又搞了个新概念：反常积分。
4. 三者的关系
该说不说的，反常积分 Improper integral 这名字起的有点让人不知道这到底是啥。其实这是 一类积分的拓展技巧，用来处理无界或者无穷区间问题，不管是黎曼积分还是勒贝格积分都有柯西拓展。大学本科学的反常积分将其叫做反常黎曼积分或者黎曼积分的柯西拓展更合适，它和勒贝格积分完全是在处理两类问题，不要混淆。
